Integral Parsial

Integral Parsial

Pandang u dan v fungsi yang diferensiabel dari x. Maka :

 d(uv) = u dv + v du

 u dv = d(uv)-v du

 ∫▒〖u dv= ∫▒〖d (uv) 〗- ∫▒〖v du=〗  uv-∫▒〖v du〗〗

Yang perlu diperhatikan pada metode ini yaitu :

1. Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegralkan.

2. ∫▒v  du harus tidak lebih sukar daripada ∫▒〖u dv〗.

Catatan :

Biasanya, metode integral parsial digunakan pada integrand yang mengandung fungsi logaritma atau perkalian polinom x^n dengan fungsi trigonometri seperti x cos x, atau x^n  sin⁡x, juga perkalian fungsi eksponensial x^n e^ax, atau perkalian fungsi eksponensial dengan fungsi trigonometri seperti e^2x  sin⁡〖x.〗

Contoh :

1. Tentukan F=∫▒〖x sin⁡〖x dx〗 〗

Solusi :

dv=sin⁡x dx

v= ∫▒sin⁡〖x dx〗 

v= -cos⁡x

Misal :

 u = x

du=dx  

Maka :

 ∫▒〖x sin⁡〖x dx〗 〗=uv-∫▒v  du

 =x (-cos⁡〖x)- ∫▒〖-cos⁡〖x dx〗 〗〗

 = -x cos⁡〖x+ ∫▒cos⁡〖x dx〗 〗

 = -x cos⁡〖x+sin⁡〖x+C〗 〗.

Jadi, F=∫▒〖x sin⁡〖x dx〗 〗= -x cos⁡〖x+sin⁡〖x+C〗 〗.

2. Tentukan F=∫▒e^x   sin 2x dx

Solusi :

Misal :

dv=sin⁡〖2x dx〗

v = ∫▒sin⁡〖2x dx〗 

v= -1/2  cos⁡2x  

 u= e^x

 du=e^x  dx

Maka :

F=∫▒e^x   sin⁡2x dx= e^x (-1/2  cos⁡〖2x)〗- ∫▒〖-1/2 cos〗⁡〖2xe^x  dx〗 

 = -e^x  1/2  cos⁡2x+1/2 ∫▒cos⁡〖2xe^x  dx〗 

Untuk ∫▒cos⁡〖2xe^x  dx〗 , selesaikan dengan integral parsial. 

Misal :

dv=cos⁡〖2x dx〗

v = ∫▒cos⁡〖2x dx〗 

v=  1/2  sin⁡2x  

 u=e^x

 du= e^x  dx

Maka :

∫▒cos⁡〖2xe^x  dx〗 = e^x  1/2  sin⁡2x-∫▒〖1/2 sin〗⁡〖2x 〗  e^x  dx

Jadi, 

F=∫▒e^x   sin⁡2x dx= -〖1/2 e〗^x  cos⁡2x+1/2 [〖1/2 e〗^x  sin⁡2x-∫▒〖1/2 sin〗⁡〖2x 〗  e^x  dx]

 F= -〖1/2 e〗^x  cos⁡2x+1/4 e^x  sin⁡2x-1/4 F

 5/4 F=-〖1/2 e〗^x  cos⁡2x+1/4 e^x  sin⁡2x

 F=-〖2/5 e〗^x  cos⁡2x+1/5 e^x  sin⁡2x+c